Question

如图所示，已知D是面积为1的△ABC的边AB上的任一点，E是边AC上任一点，连接DE，F是线段DE上一点，连接BF，设

AD

=λ1

AB

，

AE

=λ2

AC

，

DF

=λ3

DE

，且λ2+λ3-λ1=

1

2

，则△BDF的面积S的最大值是（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  1

  3

• C、

  1

  4

• D、

  1

  8

Answer 1

分析：由三角形ABC的面积为1且

S△ADE

S△ABC

=

1 2 AD•AEsinA

1 2 AB•ACsinA

=

λ1AB•λ2AC

AB•AC

=λ1λ2可求三角形ADE的面积，再由△DMB∽△DEA可得

h1

h2

=

DB

DA

=

1-λ1

λ1

从而有

S△DBF

S△ADE

=

1 2 DF•h1

1 2 DE•h2

= λ3• 

1-λ1

λ1

，求出三角形DEF的面积之后，利用基本不等式可求面积的最大值

解答：解：分别过B，A作BM⊥DE，AN⊥DE，垂足分别为M，N，设MB=h₁，AN=h₂
则

S△ADE

S△ABC

=

1 2 AD•AEsinA

1 2 AB•ACsinA

=

λ1AB•λ2AC

AB•AC

=λ1λ2
∴S_△ADE=λ₁λ₂S_△ABC=λ₁λ₂
∵△DMB∽△DEA
∴

h1

h2

=

DB

DA

=

1-λ1

λ1

从而有

S△DBF

S△ADE

=

1 2 DF•h1

1 2 DE•h2

= λ3• 

1-λ1

λ1

∴S△DBF=

λ3(1-λ1)

λ1

λ1λ2=λ2λ3(1-λ1)≤(

λ2+λ3+1-λ1

3

)3=

1

8

当且仅当λ2=λ3=1-λ1=

1

2

取等号
故选：D

点评：本题以向量的共线为切入点，利用向量的共线转化为线段的长度关系，解决本题的关键是根据三角形的面积公式先求出三角形ADE的面积；关键二是把所求的三角形的面积与三角形ADE的面积之间通过三角形的像似建立联系．本题是一道构思非常巧妙的试题，要求考试不但要熟练掌握基础知识，更要具备综合解决问题的能力．