题目内容

椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[ $数学公式$ ， $数学公式$ ]，则椭圆的离心率的取值范围为________．

[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]
分析：设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出 $\text{[math]}$ 即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．
解答：∵B和A关于原点对称
∴B也在椭圆上
设左焦点为F′
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①
O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα …②
|BF|=2ccosα …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
即e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵a∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴ $\text{[math]}$ ≤α+π/4≤ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ≤sin（α+ $\text{[math]}$ ）≤1
∴ $\text{[math]}$ ≤e≤ $\text{[math]}$
故答案为[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]
点评：本题主要考查了椭圆的性质．解题时要特别利用好椭圆的定义．

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