Question

设F₁、F₂是椭圆（a＞b＞0）的左右焦点，A为上顶点，椭圆上的点N满足：=+λ（λ∈R）．
（1）求实数λ的取值范围；
（2）设λ=，过点N作椭圆的切线分别交左、右准线于P、Q，直线NF₁、NF₂分别交椭圆于C、D两点．是否存在实数m，使=m（+）？若存在，求出实数m的值，否则说明理由；
（3）在（2）的基础上猜想：是否存在实数n，使=n（+）？若存在写出n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设N（x，y），由点N满足：=+λ（λ∈R），将相关点的坐标代入，由向量相等的充要条件，可将N点坐标用λ表示，代入椭圆方程，得λ与a、b、c的等式，利用离心率的范围即可求得λ的范围
（2）由（1）知N（，），再由直线NF₂与椭圆联立求得D（0，-b），而点Q的横坐标也已知为，将这些点的坐标代入已知=m（+），即可得m==，Q（，-），从而求得切线NQ的斜率，等于利用导数的几何意义求得的椭圆在点N处的切线斜率，求得椭圆离心率，进而求出m的值
（3）根据（2）的思路，只需求出直线NF₁与椭圆的交点C的横坐标，代入=n（+），得m与离心率的关系，代入求得的离心率即可猜想n值
解答：解：（1）设N（x，y）
∵F₁（-c，0）F₂（c，0），A（0，b），
∴=（c，b），=（（2c，0），=（x+c，y）
∵=+λ（λ∈R），
∴（x+c，y）=（2c，0）+λ（c，b），
∴
∴，
∵N点在椭圆上，代入椭圆方程
得
∴，显然λ=-1满足等式
若λ≠-1，则
∵椭圆的离心率e=∈（0，1）
∴0＜＜1
解得0＜λ＜1
∴实数λ的取值范围为（0，1）∪{-1}
（2）∵λ=
∴N（，）
∵直线NF₂的方程为y=（x-c）
即y=（x-c），∵此直线过点（0，-b）
∴D（0，-b）
假设存在实数m，使=m（+）
∵Q在右准线x=上，∴Q的横坐标为，设纵坐标为y_Q
则（，y_Q）=m[（，）+（0，-b）]
∴=×m，∴m==*
∴y_Q=-=-
Q（，-）
∵直线NQ的斜率为==  ①

由，得椭圆在第一象限的图象的函数解析式为y=
y′==
∴y′==
即椭圆切线NQ的斜率为     ②
由①②得=
化简得
两边同除以a⁴，得
解得e²=
代入*式，得m==2
故存在实数m=2，使=m（+）
（3）∵N（，）
∵直线NF₁的方程为y=（x+c）
即y=（x+c），代入椭圆方程得（1+）x2+x-=0
∴x_C×=
∴x_C=，

假设存在实数n，使=n（+）
∵P在左准线x=-上，∴Q的横坐标为-，设纵坐标为y_P
则（-，y_P）=m[（，）+（，y_C）]
∴-=（+）×m，
∴m==
由（2）知e²=
代入上式得：m=14
故猜想存在n=14，使=n（+）
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系，向量与解析几何的综合运用