Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；

（2）若过点可作曲线的三条切线，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）对函数h(x)求导，由函数h(x)在区间上单调递减可得恒成立，列不等式组解出即可得到答案；（2）设切点坐标，写过点（a,b）的切线方程，过点可作三条切线转为方程有三个不等实根，构造函数判单调性根据函数的单调性和极值即可得到答案.

（1）解：，

依题可得：，即对恒成立.

设，则，解得，所以.

（2）证明：设过点与曲线相切的直线与曲线的切点为，

因为，

所以切线方程为，

代入点，得，整理得：，

因为过点可作曲线的三条切线，

所以方程有三个不同根.

令，

则在，上单调递增，在上单调递减.

因为方程有三个不同根，

所以的图像与轴有三个交点，则

故.