题目内容
已知椭圆E：
＋y2＝1(a＞1)的上顶点为M(0，1)，两条过M的动弦MA、MB满足MA⊥MB.
(1)当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求椭圆E的方程；
(2)若Rt△MAB面积的最大值为
，求a；
(3)对于给定的实数a(a＞1)，动直线AB是否经过一定点？如果经过，求出定点坐标(用a表示)；反之，说明理由．
＋y2＝1(a＞1)的上顶点为M(0，1)，两条过M的动弦MA、MB满足MA⊥MB.(1)当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求椭圆E的方程；
(2)若Rt△MAB面积的最大值为
，求a；(3)对于给定的实数a(a＞1)，动直线AB是否经过一定点？如果经过，求出定点坐标(用a表示)；反之，说明理由．
（1）
＋y2＝1.（2）a＝3（3）
＋y2＝1.（2）a＝3（3）(1)由题，a2＝c2＋1，d＝
＝
＝c＋
≥2，当c＝1时取等号，此时a2＝1＋1＝2，故椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)不妨设直线MA的斜率k>0，直线MA方程为y＝kx＋1，由
①代入②整理得(a2k2＋1)x2＋2a2kx＝0，
解得xA＝－
，故A
，
由MA⊥MB知直线MB的斜率为－
，可得B
，
则MA＝
，MB＝
.
则S△MAB＝
MA·MB＝(1＋k2)
＝
.
令k＋＝t(t≥2)，
则S△MAB＝
.
当t＝
时取“＝”，∵t＝≥2，得a>
＋1.而(S△MAB)max＝
，故a＝3或a＝
(舍)．综上a＝3.
(3)由对称性，若存在定点，则必在y轴上．
当k＝1时，A
，直线AB过定点Q
.下面证明A、Q、B三点共线：
∵kAQ＝
，
kBQ＝
.
由kAQ＝kBQ知A、Q、B三点共线，即直线AB过定点Q.
＝＝c＋≥2，当c＝1时取等号，此时a2＝1＋1＝2，故椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)不妨设直线MA的斜率k>0，直线MA方程为y＝kx＋1，由
①代入②整理得(a2k2＋1)x2＋2a2kx＝0，
解得xA＝－
，故A，由MA⊥MB知直线MB的斜率为－
，可得B，则MA＝
，MB＝.则S△MAB＝
MA·MB＝(1＋k2)＝
.令k＋
＝t(t≥2)，则S△MAB＝
.当t＝
时取“＝”，∵t＝≥2，得a>＋1.而(S△MAB)max＝，故a＝3或a＝(舍)．综上a＝3.(3)由对称性，若存在定点，则必在y轴上．
当k＝1时，A
，直线AB过定点Q.下面证明A、Q、B三点共线：∵kAQ＝
，kBQ＝
.由kAQ＝kBQ知A、Q、B三点共线，即直线AB过定点Q
.
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的离心率是
.
，使点C(2,0)关于直线
中，点P到两圆C1与C2的圆心的距离之和等于4，其中C1：
，C2：
. 设点P的轨迹为
．
与C交于A，B两点．问k为何值时
？此时
的值是多少？
＝1(a>b>0，a、b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝
，b<t1<a.点A1、A2分别为C0的左、右顶点，C1与C0相交于A、B、C、D四点．
与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b<t2<a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：
为定值．
＝1(a＞b＞0)的焦点为F1与F2，且P∈E，∠F1PF2＝2θ.求证：△PF1F2的面积S＝b2tanθ.
)和
，并且经过点
，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．
的最小值．
是椭圆的两个焦点，过
且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若
是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
B．
C．
D．
上的一点，P点是椭圆上的动点，
＋y2＝1上，顶点A与椭圆的焦点F1重合，且椭圆的另外一个焦点F2在BC边上，则△ABC的周长是________．