题目内容

求证：对于任意的整数，．

证明见答案


解析:

当为偶数时，设．

       则原式．

       同理，当为奇数时，原式．

练习册系列答案
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已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，满足关系式2Sn=3an-3．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}的通项公式是bn=
1log3an(log3an+1)
，前n项和为Tn，求证：对于任意的正整数n，总有Tn＜1．
已知数列{an}中，a1=t，a2=t2（t＞0且t≠1）．若x=
t
是函数f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一个极值点．
（Ⅰ）证明数列{an+1-an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记bn=2(1-
1
an
)，当t=2时，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn＞2008的n的最小值；
（Ⅲ）当t=2时，求证：对于任意的正整数n，有 
n
k=1
2k
(ak+1)(ak+1+1)
＜
1
3
．
已知函数f(x)=
ax2+1
x
-lnx，a∈R．
（1）若a=2，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）求证：对于任意正整数n，
n+2
n(n+1)
＞ln
n+1
n
．
（2009•湖北模拟）已知数列{an}中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3），令bn=
1
anan+1

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令Tn=b1+b2•2+b3•22+…bn•2n-1，
求证：①对于任意正整数n，都有Tn＜
1
6
．②对于任意的m∈(0，
1
6
)，均存在n0∈N*，使得n≥n0时，Tn＞m．

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