Question

已知函数f(x)=

ax2+1

x

-lnx，a∈R．
（1）若a=2，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）求证：对于任意正整数n，

n+2

n(n+1)

＞ln

n+1

n

．

Answer 1

分析：（1）当a=2时f(x)=

2x2+1

x

-lnx，其中x＞0，然后对函数求导数，在函数的定义域下，使导数大于零的区间，就是函数的单调增区间，使导数小于零的区间就是函数的单调减区间，解相应的不等式即可得函数f（x）的单调区间；
（2）函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，即为函数的导数在区间[1，+∞）上恒大于或等于零，变形为f′(x)=a-

1

x2

-

1

x

≥0区间[1，+∞）上恒成立，利用变量分离，得到a≥

1

x2

+

1

x

在x∈[1，+∞）上恒成立．以t=

1

x

为自变量，研究右边函数的最大值，可得实数a的取值范围是[2，+∞）；
（3）在（1）的结论下，可得在[1，+∞）上，f（x）_min=f（1）=3，所以x＞1时，f（x）＞3．再取自变量x=

n+1

n

，n∈N*，是一个属于区间[1，+∞）的变量，故有f(

n+1

n

)＞3，最后将这个不等式加以变形，化简整理可证得原不等式正确．

解答：解：（1）f(x)=

2x2+1

x

-lnx，x＞0，f′(x)=

2x2-x-1

x2

，
令f'（x）＞0，因为x＞0，所以x＞1，所以f（x）的单调增区间为（1，+∞）；
令f'（x）＜0，因为x＞0，所以0＜x＜1，所以f（x）的单调减区间为（0，1）．
（2）f′(x)=

ax2-x-1

x2

．
因为函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，
所以f′(x)=

ax2-x-1

x2

≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，
即a≥

1

x2

+

1

x

在x∈[1，+∞）上恒成立．
令

1

x

=t，0＜t≤1，g（t）=t²+t，0＜t≤1，
图象的对称轴为t=-

1

2

，所以t=1时，g（t）_max=2．
所以a≥2，即当函数f（x）在[1，+∞）上为增函数时，实数a的取值范围为[2，+∞）．
（3）由（1）知f(x)=

2x2+1

x

-lnx在[1，+∞）上是增函数，
所以在[1，+∞）上，f（x）_min=f（1）=3，
所以x＞1时，f（x）＞3．
令x=

n+1

n

，n∈N*，则x＞1，
所以

2•( n+1 n )2+1

n+1 n

-ln

n+1

n

＞3，
即

3n2+4n+2

n(n+1)

-3＞ln

n+1

n

，
即

n+2

n(n+1)

＞ln

n+1

n

．
所以结论得证．

点评：本题以一个复合型函数为例，通过研究它的单调性与最值，着重考查了利用导数研究函数的单调性、二次函数的最值和不等式恒成立的处理等知识点，属于中档题．