Question

在直角三角形ABC中，D是斜边BC上的一点，AB=AD，∠CAD=α，∠ABC=β，
（1）求sinα+cos2β的值；
（2）若AC=

3

DC，求β的值．

Answer 1

分析：（1）由于180°-2β+α=90°，可求得2β=90°+α，利用诱导公式可求得sinα+cos2β；
（2）在△ACD中利用正弦定理可求得sinβ=

3

2

，从而可求得β的值．

解答：解：（1）由180°-2β+α=90°得2β-α=90°，
∴sinα+cos2β=sinα+cos（90°+α）=0．…（6分）
（2）在△ACD中由正弦定理得，
AC：DC=sin（180°-β）：sinα，又因为AC=

3

DC，
∴sinβ=

3

sinα，
又∵sinα+cos2β=0，
∴2sin²β-

3

3

sinβ-1=0，
∴sinβ=

3

2

，
又∵0＜β＜

π

2

，
∴β=

π

3

…（12分）

点评：本题考查正弦定理，考查分析与运算能力，求得sinβ=

3

sinα是关键，属于中档题．