Question

已知圆O：x²＋y²＝2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F．若P是圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q．

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)若点P的坐标为(1，1)，求证：直线PQ与圆O相切；

(Ⅲ)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A、B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)因为，所以c＝1 　　则b＝1，即椭圆的标准方程为 　　(Ⅱ)因为(1，1)，所以，所以，所以直线OQ的方程为y＝－2x 　　又椭圆的左准线方程为x＝－2，所以点Q(－2，4) 　　所以，又，所以，即， 　　故直线与圆相切 　　(Ⅲ)当点在圆上运动时，直线与圆保持相切 　　证明：设()，则，所以，， 　　所以直线OQ的方程为 　　所以点Q(－2，) 　　所以，又， 　　所以，即，故直线始终与圆相切