题目内容

若f（x）=xsinx，则
lim
△x→0
f(
π
3
+△x)-f(
π
3
)
△x
=
3
2
+
π
6
3
2
+
π
6
．
分析：根据导数的极限定义，将极限转化为导数，然后利用积的导数的运算法则求函数的导数即可．
解答：解：根据导数的定义可知
lim
△x→0
f(
π
3
+△x)-f(
π
3
)
△x
=f′(
π
3
)，
因为f（x）=xsinx，所以f'（x）=x'sinx+x（cosx）'=sinx+xcosx，
所以f′(
π
3
)=sin?
π
3
+
π
3
cos?
π
3
=
3
2
+
π
6
，
故答案为：
3
2
+
π
6
．
点评：本题主要考查导数的定义以及导数基本运算，要求熟练掌握常见函数的导数以及导数的四则运算法则．
练习册系列答案
相关题目
设函数f(x)=acos2ωx+
3
acosωxsinωx+b(0＜ω＜2，a≠0)，x=
π
6
是其函数图象的一条对称轴．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若f（x）的定义域为[-
π
3
，
π
3
]，值域为[-1，5]，求a，b的值．
已知tanα=
2
-1函数f（x）=x2tan2α+xsin(2α+
π
4
)其中α∈(0，
π
2
)
（1）求f（x）的解析式；
（2）若数列{an}满足a1=
1
2
， an+1=f（an）（n∈N*）求证：
（i）an+1＞an（n∈N*）；
（ii）1＜
1
1+a1
+
1
1+a2
+…+
1
1+an
＜2（n≥2，n∈N*）．
已知函数f（x）=aln（1+ex）-（a+1）x．
（1）已知f（x）满足下面两个条件，求a的取值范围．
①在（-∞，1]上存在极值，
②对于任意的θ∈R，c∈R直线l：xsinθ+2y+c=0都不是函数y=f（x）（x∈（-1，+∞））图象的切线；
（2）若点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））从左到右依次是函数y=f（x）图象上三点，且2x2=x1+x3，当a＞0时，△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面积的最大值；若不能，请说明理由．
已知函数f(x)=sinωxsin(ωx+
π
6
)-
3
4
(ω＞0)，且其图象的相邻对称轴间的距离为
π
4
．
（I） 求f（x）在区间[
11π
12
，
9π
8
]上的值域；
（II）在锐角△ABC中，若f(A-
π
8
)=
1
2
，a=1，b+c=2，求△ABC的面积．
设函数f(x)=acos2ωx+
3
acosωxsinωx+b(0＜ω＜2，a≠0)，x=
π
6
是其函数图象的一条对称轴．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若f（x）的定义域为[-
π
3
，
π
3
]，值域为[-1，5]，求a，b的值．

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