Question

5．设函数f（x）=2lnx-ax，（a∈R，a＞0）；
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在x∈[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．

解答 解：（1）f（x）=2lnx-ax，（a＞0），f′（x）=$\frac{2-ax}{x}$，
x∈（0，$\frac{2}{a}$）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
x∈（$\frac{2}{a}$，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减；
（2）当$\frac{2}{a}$≥2，0＜a≤1时，由（1）得f（x）在[1，2]递增，
f（x）_max=f（2）=2ln2-2a，
当1＜$\frac{2}{a}$＜2，即1＜a＜2时，由（1）得f（x）在[1，$\frac{2}{a}$）递增，在（$\frac{2}{a}$，2]递减，
f（x）_max=f（$\frac{2}{a}$）=2ln2-2lna-2，
当$\frac{2}{a}$≤1即a≥2时，由（1）得f（x）在[1，2]递减，
故f（x）_max=f（1）=a，
综上，f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{2ln2-2a，0＜a≤1}\\{2ln2-2lna-2，1＜a＜2}\\{a，a≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．