Question

已知为坐标原点，点、的坐标分别为（，0）、（，0），点、满足，，过点且垂直于的直线交线段于点，设点的轨迹为.

（1）求轨迹的方程；

（2）若轨迹上存在两点和关于直线：（）对称，求的取值范围；

（3）在（2）的条件下，设直线与轨迹交于不同的两点、，对点（1，0）和向量（，3），求取最大值时直线的方程.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，∴为中点.

       ∴垂直平分.

       ∴.

       ∴.

       ∴点的轨迹是以正、为焦点的椭圆.

       ∴长半轴，半焦距，

       ∴.

∴点的轨迹方程为

       （2）设，，的中点.

       由.

       又，∴，.

       ∵中点在椭圆内部，∴

       ∴（－1，0）∪（0，1）.

   （3）将代入椭圆中，整理得

       .

       设（，），（，）.

       则+=，=.

       ∴===   

       ∴

       =

       =

      

       .

       当仅当，即（0，1）时等号成立.

       此时，直线（+1）.