Question

已知：a＞0，函数f(x)＝x³－ax在[1，＋∞)上是单调函数．

(1)求实数a的取值范围．

(2)设x₀≥1，f(x₀)≥1且f[f(x₀)]＝x₀，求证：f(x₀)＝x₀．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2则 　　f(x2)－f(x1)＝(－ax2)－(－ax1) 　　＝(x2－x1)(＋x1x2＋－a)． 　　因为x2－x1＞0，1≤x1≤x2，所以＋x1x2＋＞3． 　　因为f(x)在[1，＋∞)上是单调函数，所以＋x1x2＋－a恒为正数．所以a≤3，此时f(x2)＞f(x1)．所以f(x)在[1，＋∞)上为增函数，而a＞0故a∈(0，3] 　　(2)用反证法： 　　假设f(x0)≠x0．因f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以 　　当f(x0)＞x0时f[f(x0)]＞f(x0)于是f[f(x0)]＞x0，于是f[f(x0)]＞x0，这与f[f(x0)]＝x0矛盾． 　　同理，若f(x0)＜x0，则f[f(x0)]＜f(x0)＜x0，故f[f(x0)]＜x0，与已知矛盾． 　　综上所述，f(x0)＝x0．