题目内容
21. 已知定义在R上的函数f（x）和数列{an}满足下列条件：a1=a, an=f（an－1）（n=2,3,4,…）, a2≠a1,
f（an）－f（an－1）=k（an－an－1）（n=2,3,4,…）.
其中a为常数，k为非零常数.
（Ⅰ）令bn=an+1－an（n∈N*），证明数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）当|k|＜1时，求
an.
21.本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念.考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力.
（Ⅰ）证明：由b1=a2－a1≠0,可得
b2=a3－a2=f（a2）－f（a1）=k（a2－a1）≠0.
由数学归纳法可证bn=an+1－an≠0（n∈N*）.
由题设条件，当n≥2时,
=
=
=
=k.
因此，数列{bn}是一个公比为k的等比数列.
（Ⅱ）解： 由（Ⅰ）知，bn=kn－1b1=kn－1（a2－a1） （n∈N*）.
当k≠1时
b1+b2+…+bn－1=（a2－a1）
（n≥2）;
当k=1时
b1+b2+…+bn－1=（n－1）（a2－a1） （n≥2）.
而 b1+b2+…+bn－1=（a2－a1）+（a3－a2）+…+（an－an－1）
=an－a1 （n≥2）.
所以，当k≠1时
an－a1=（a2－a1）
（n≥2）.
上式对n=1也成立.所以，数列{an}的通项公式为
an=a+（f（a）－a）
（n∈N*）.
当k=1时
an－a1=（n－1）（a2－a1） （n≥2）.
上式对n=1也成立.所以，数列{an}的通项公式为
an=a+（n－1）（f（a）－a） （n∈N*）.
（Ⅲ）解：当|k|＜1时，
an=
［a+（f（a）－a）
］
=a+
.
）对称，且满足f（x）=-f（x+
），f（0）=2，f（1）=-1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值是（ ）
）对称，且满足f（x）=-f（x+
），f（0）=2，f（1）=-1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值是（ ）