Question

已知定义在R上的函f（x）的图象关于点（-

3

4

，0）对称，且满足f（x）=-f（x+

3

2

），f（0）=2，f（1）=-1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值是（　　）

• A、1
• B、-1
• C、2
• D、-2

Answer 1

分析：根据题意可推出f（x）=f（x+3）且f（x）=f（-x），得到f（-1）+f（0）+f（1）=0，
故可得 f（1）+f（2）+f（3）+…+f （2009 ）=669×0+f（1）+f（2）=f（1）+f（-1）．

解答：解：定义在R上的函f（x）的图象关于点（-

3

4

，0）对称，∴f（x）=-f（-x-

3

2

 ），
又f（x）=-f（x+

3

2

），∴f（x）=f（x+3）且f（x）=f（-x），
∴f（-1）=f（1）=-1，∴f（-1）+f（0）+f（1）=0．
又 2009=669×3+2，故 f（1）+f（2）+f（3）+…+f （2009 ）=669×0+f（1）+f（2）=
f（1）+f（-1）=-2，
故选  D．

点评：本题考查函数的对称性、周期性，及函数值，推出f（x）=f（x+3）且f（x）=f（-x），是解题的关键．