题目内容

已知定义在R上的单调递增奇函数以f(x),若当0≤θ≤
π2
时,f(cosθ+msinθ)+f(-2m-2)<0恒成立,求实数m的取值范围.
分析:利用定义在R上的单调递增奇函数,当0≤θ≤
π
2
时,f(cosθ+msinθ)+f(-2m-2)<0恒成立,等价于cosθ+msinθ<2m+2,当0≤θ≤
π
2
时恒成立,分离参数,确定其范围,即可得到结论.
解答:解:∵当0≤θ≤
π
2
时,f(cosθ+msinθ)+f(-2m-2)<0恒成立,函数是奇函数,

∴当0≤θ≤
π
2
时,f(cosθ+msinθ)<f(2m+2)恒成立,
∵函数是定义在R上的单调递增函数,
∴cosθ+msinθ<2m+2,当0≤θ≤
π
2
时恒成立,
∴m>
2-cosθ
sinθ-2

令t=
cosθ-2
sinθ-2
,其几何意义是(sinθ,cosθ)(0≤θ≤
π
2
)与(2,2)连线的斜率
1
2
<t<2

-2<
2-cosθ
sinθ-2
<-
1
2

∴m>-
1
2
点评:本题考查函数单调性与奇偶性的结合,考查恒成立问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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