Question

函数f（x）=ax²+2x+1，g（x）=lnx．
（I）设F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的两个极值点的充要条件．
（II）求证：当a≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

Answer 1

解：（I）函数f（x）=ax²+2x+1，g（x）=lnx，
∴F（x）=f（x）-g（x）=ax²+2x+1-lnx，
其定义域为（0，+∞）．
∴=，
∴F（x）有两个极值点，
∴方程2ax²+2x-1=0有两个不相等的正根，
∴，
解得，
∴F（x）有两个极值点的充要条件是．
（II）证明：不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要条件是：
F（x）=ax²+2x+1-lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，
即在（0，+∞）上恒成立．
令h（x）=lnx-（2x+1），则，
当x∈时，h′（x）＞0，
当时，h′（x）＜0．
∴时，h（x）_max=，
故x∈（0，+∞），都有，
∴当a≥0时，在（0，+∞）上恒成立，
即当a≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立．
分析：（I）由F（x）=f（x）-g（x）=ax²+2x+1-lnx，其定义域为（0，+∞），知=，由F（x）有两个极值点，知方程2ax²+2x-1=0有两个不相等的正根，由此能求出F（x）有两个极值点的充要条件．
（II）不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要条件是在（0，+∞）上恒成立．令h（x）=lnx-（2x+1），则，由此能够证明当a≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易错点是不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要条件是在（0，+∞）上恒成立，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．