Question

【题目】已知椭圆，设为椭圆上一点，且 .

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，，是否存在以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，请求出共有几个？若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（I）；（II）存在个，理由见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据椭圆定义及性质知，，在焦点三角形中，由余弦定理得：，得：，再有，得：；（Ⅱ）先分析特殊情况，当中一个斜率为零，一个斜率不存在显然不符合题意， 设，不妨设，联立直线和椭圆，利用直线和椭圆的位置关系得，从而，根据,可得：，化简求解，故存在个．

试题解析：（Ⅰ）设，由椭圆定义得，

设椭圆的半焦距为，则，

对由余弦定理得

，

解得，

又，结合得.

（Ⅱ）当中一个斜率为零，一个斜率不存在显然不符合题意，

设，不妨设，

联立直线和椭圆方程得，

解得两根为，

所以，由，得

把中的换成，可得

由的，结合化简得，整理得解得，均符合，

所以符合条件的的个数有个.