Question

已知双曲线的左、右焦点分别是F₁、F₂，点B（0，b），若△BF₁F₂的外接圆圆心到双曲线渐近线的距离为，则双曲线的离心率为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   2
4. D.
   2

Answer 1

C
分析：设△BF₁F₂的外接圆的圆心为C（0，m），根据|CB|=|CF₁|和点C（0，m）双曲线渐近线的距离为，联列方程组并解之可得m=-，b=，最后根据双曲线的平方关系和离心率的定义可算出本题的答案．
解答：根据双曲线的对称性，得△BF₁F₂的外接圆圆心C在y轴上，
设C（0，m），得|CB|=|CF₁|
∴b-m==…①
又∵点C（0，m）双曲线渐近线的距离为，
∴=…②
联解①②，得m=-，b=（因为b＞0，舍去另一组解）
∴双曲线方程为，得c==2
由此可得：双曲线的离心率e==2
故选：C
点评：本题给出经过双曲线两个焦点和虚轴一端的圆，在已知圆心到渐近线的距离情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的简单性质、直线与圆的位置关系等知识点，属于中档题．