Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和，若a₁=3，a_na_n+1=(

1

2

)n（n∈N^*），则S₂₀₁₀=

19

3

[1-(

1

2

)1005]

．

Answer 1

分析：由a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ，令n=1，求得a₂的值，a_na_n+1=(

1

2

)n，得a_na_n-1=（

1

2

）^n-1（n≥2）将两式相比，即得

an+1

an-1

=

1

2

，
从而求得数列{a_n}的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，故求数列{a_n}通项，然后利用分组求和法和等比数列的求和公式求出S₂₀₁₀即可．

解答：解：∵a₁=3，a_na_n+1=(

1

2

)n
∴令n=1可求出a₂=

1

6

∵a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ
∴a_na_n-1=（

1

2

）^n-1（n≥2）；
两式相比，得

an+1

an-1

=

1

2

，
∴数列{a_n}的奇数项成首项为3，公比为

1

2

的等比数列，偶数项成首项为

1

6

，公比为

1

2

的等比数列
∴a_n=3×(

1

2

)

n-1

2

，n为奇数；a_n=

1

6

×(

1

2

)

n-2

2

，n为偶数；
S₂₀₁₀=（a₁+a₃+a₅+…+a₂₀₀₉）+（a₂+a₄+a₆+…a₂₀₁₀）
=（3+3×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+3×(

1

2

)1004）+（

1

6

+

1

6

×

1

2

+

1

6

×(

1

2

)2+…+

1

6

×(

1

2

)1004）
=（3+

1

6

）（1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)1004）
=

19

6

×

1-( 1 2 ) 1005

1- 1 2

=

19

3

[1-(

1

2

)1005]
故答案为：

19

3

[1-(

1

2

)1005]

点评：本题主要考查了等比数列的求和，以及通项公式，同时考查了分类讨论的数学思想，以及分组求和法的应用，属于中档题．