Question

12．已知函数f（x）=xlnx
（Ⅰ）讨论函数g（x）=$\frac{f（x）+k}{x}$（k∈R）的单调区间；
（Ⅱ）求证：除切点（e，e）之外，函数f（x）的图象在直线h（x）=2x-e的上方．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负，讨论函数g（x）=$\frac{f（x）+k}{x}$（k∈R）的单调区间；
（Ⅱ）令F（x）=xlnx-2x+e，求导数，确定其单调性，即可证明结论．

解答 （Ⅰ）解：g（x）=$\frac{f（x）+k}{x}$=lnx+$\frac{k}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{x-k}{{x}^{2}}$，
k≤0时，g′（x）＞0，函数单调递增，单调递增区间为（0，+∞）；
k＞0时，g′（x）＞0，x＞k，函数单调递增，单调递增区间为（k，+∞）；
g′（x）＜0，0＜x＜k，函数单调递减，单调递减区间为（0，k）；
（Ⅱ）证明：令F（x）=xlnx-2x+e，
∴F′（x）=lnx-1，
∴（0，e）上，F′（x）＜0，函数F（x）单调递减，（e，+∞）上，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增
∴F（x）≥F（e）=0
又f′（e）=lne+1=2，f（e）=e，
∴函数f（x）=xlnx在点（e，f（e））处的切线方程为y-e=2（x-e），即2x-y-e=0．
∴除切点（e，e）之外，函数f（x）的图象在直线h（x）=2x-e的上方．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．