Question

【题目】在直角梯形中，，，，如图1．把沿翻折，使得平面平面，如图2．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若点为线段中点，求点到平面的距离；

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）先证明平面，进而可得；

（Ⅱ）以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据，即可求出结果；

（Ⅲ）先假设在线段上存在点，使得与平面所成角为，设，用表示，根据即可求出结果.

（Ⅰ）证明：由已知条件可得．

平面平面，平面．

平面．又平面，．

（Ⅱ）解：以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得，，，，．

．

设平面的法向量为，则，∴

令，得平面的一个法向量为，

点到平面的距离．

（Ⅲ）假设在线段上存在点，使得与平面所成角为．

设，则，，

又平面的法向量且直线与平面所成角为，

，可得，（舍去）．

综上，在线段上存在点，使与平面所成角为，此时．