已知二项展开式(2-x)n=a0+a1x+a2x2+-+anxn(1)当n=2013时.求a0,(2)当n=18时.求a1+2a2+3a3+-+18a18．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

7．已知二项展开式（2-x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（n∈N且n≥2）
（1）当n=2013时，求a₀；
（2）当n=18时，求a₁+2a₂+3a₃+…+18a₁₈．

分析（1）当n=2013时，在所给的等式中，令x=0，可得a₀的值．
（2）在所给的等式中，两边同时x求导数，再令x=1，可得 a₁+2a₂+3a₃+…+18a₁₈的值．

解答解：（1）∵二项展开式（2-x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（n∈N且n≥2），
令x=0，可得a₀=2ⁿ，
再根据n=2013，
可得a₀=2²⁰¹³．
（2）当n=18时，
∵（2-x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
即（2-x）¹⁸=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nx¹⁸，
两边同时对x求导数，可得-18（2-x）¹⁷=a₁+2a₂x¹+3a₃x²+…+18a_nx¹⁷，
再令x=1，可得 a₁+2a₂+3a₃+…+18a₁₈=-18．

点评本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．

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