Question

18．已知数列{a_n}满足a_n＞0且a_n=$\frac{{2a}_{n+1}}{1{-a}_{n+1}^{2}}$（n∈N^*），证明：a_n+1＜$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*）

Answer 1

分析 通过分析，只需证a_n+1＜$\frac{{a}_{n+1}}{1-{{a}_{n+1}}^{2}}$，即证0＜1-a_n+1²＜1，计算即得结论；

解答 证明：∵a_n=$\frac{{2a}_{n+1}}{1{-a}_{n+1}^{2}}$，a_n＞0（n∈N^*），
∴$\frac{1}{2}$a_n=$\frac{{a}_{n+1}}{1-{{a}_{n+1}}^{2}}$，要证a_n+1＜$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*），只需证a_n+1＜$\frac{{a}_{n+1}}{1-{{a}_{n+1}}^{2}}$，
∵数列{a_n}满足a_n＞0，
∴只需证1＜$\frac{1}{1-{{a}_{n+1}}^{2}}$，
又∵0＜a_n=$\frac{{2a}_{n+1}}{1{-a}_{n+1}^{2}}$≤$\frac{（1+{a}_{n+1}）^{2}}{1-{{a}_{n+1}}^{2}}$=$\frac{1+{a}_{n+1}}{1-{a}_{n+1}}$，
∴0＜1-a_n+1²＜1，
∴$\frac{1}{1-{{a}_{n+1}}^{2}}$＞1，
即a_n+1＜$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*）；

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．