Question

13．如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM：GA=1：3，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{c}$，试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$表示$\overrightarrow{BG}$，$\overrightarrow{BN}$．

Answer 1

分析 根据向量的加减法计算即可．

解答 解：$\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MG}$
=$\overrightarrow{BM}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AM}$
=$\overrightarrow{BM}-\frac{1}{4}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}）$
=$\frac{3}{4}\overrightarrow{BM}-\frac{1}{4}\overrightarrow{a}$
=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}）$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{\overrightarrow{a}}$
=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$）-$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$
=-$\overrightarrow{a}+\frac{1}{4}\overrightarrow{b}+\frac{1}{4}\overrightarrow{c}$；
$\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}$
=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}）-\overrightarrow{AB}$
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$．

点评 本题主要考查向量的加减法和几何表示，属于基础题