Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=4a_n-3，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n+1=a_n+b_n，n∈N^*，b₁=2，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据S_n=4a_n-3，n∈N^*得到当n≥2时，S_n-1=4a_n-1-3，两式相减得a_n=

4

3

a_n-1，求出首项，从而可求出数列的通项公式；
（2）利用叠加法求出数列{b_n}的通项公式，然后利用分组求和法进行求和即可．

解答：解：（1）因为S_n=4a_n-3，n∈N^*．
所以当n≥2时，S_n-1=4a_n-1-3
两式相减得a_n=S_n-S_n-1=4a_n-4a_n-1，
整理得a_n=

4

3

a_n-1，
由S_n=4a_n-3，令n=1得a₁=4a₁-3，解得a₁=1
因此{a_n}是首项为1，公比为

4

3

的等比数列，所以a_n=(

4

3

)n-1
（2）由a_n=(

4

3

)n-1，b_n+1=a_n+b_n，即b_n+1-b_n=a_n=(

4

3

)n-1
于是当n≥2时，
b_n=b₁+b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=2+1+

4

3

+(

4

3

)2+…+(

4

3

)n-2
=2+

1-( 4 3 )n-1

1- 4 3

=3×(

4

3

)n-1-1
而b₁=2满足n≥2时，满足b_n的形式，
所以{b_n}的通项公式b_n=3×(

4

3

)n-1-1
所以T_n=

3[1-( 4 3 )n]

1- 4 3

-n=9×(

4

3

)n-n-9

点评：本题主要考查了利用递推关系求数列的通项公式，以及利用叠加法求数列的和，同时考查了计算能力，属于中档题．