题目内容

已知向量
a
=(sinθ，cosθ)，
b
=(2，1)，且
a
∥
b
，其中θ∈(0，
π
2
)．
（1）求tanθ的值；
（2）若tanγ=3，求tan（θ-γ）的值；
（3）求
2
sin(θ+
π
4
)(sinθ+2cosθ)
cos2θ
的值．
分析：（1）由向量平行的充要条件可得关于θ的式子，由同角三角函数的基本关系可得；
（2）由已知及（1）所求，代入两角差的正切即可；（3）由三角函数的公式化简后，代入tanθ=2，可得答案．
解答：解：（1）由
a
∥
b
得2×sinθ-1×cosθ=0，即sinθ=2cosθ，…（2分）
故tanθ=
sinθ
cosθ
=2；　　　　　　　　　　　　　…（4分）
（2）由tanγ=3结合（1）所求的tanθ=2得，tan(θ-γ)=
tanθ-tanγ
1+tanθtanγ
=-
1
7
；…（8分）
（3）由公式可得
2
sin(θ+
π
4
)(sinθ+2cosθ)
cos2θ
=
(sinθ+cosθ)(sinθ+2cosθ)
(sinθ+cosθ)(cosθ-sinθ)
…（10分）
=
sinθ+2cosθ
cosθ-sinθ
=
tanθ+2
1-tanθ
=-4；…（12分）
点评：本题考查向量的平行和三角函数的运算，涉及弦化切的思想，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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