Question

【题目】以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.

（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（2）设点的直角坐标为，过的直线与直线平行，且与曲线交于、两点，若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为；

（2）.

【解析】

（1）利用两角和的余弦公式以及可将的极坐标方程转化为普通方程，在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程；

（2）求出直线的倾斜角为，可得出直线的参数方程为（为参数），并设点、的参数分别为、，将直线的参数方程与曲线普通方程联立，列出韦达定理，由，代入韦达定理可求出的值.

（1）因为，所以，

由，，得，

即直线的直角坐标方程为；

因为消去，得，所以曲线的普通方程为；

（2）因为点的直角坐标为，过的直线斜率为，

可设直线的参数方程为（为参数），

设、两点对应的参数分别为、，将参数方程代入，

得，则，.

所以，解得.