Question

已知向量

m

=(sin2A，cos2A)，

n

=(-1，1)，

m

•

n

=-1．
（1）求向量

m

与

n

的夹角；
（2）若角A是△ABC的最大内角且所对的边长a=2，sinBsinC=cos2

A

2

．求角B，C所对的边长b，c．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

m

=(sin2A，cos2A)，

n

=(-1，1)，

m

•

n

=-1．代入向量夹角公式，即可求出向量

m

与

n

的夹角；
（2）由

m

•

n

=-sin2A+cos2A=-1，结合角A是△ABC的最大内角，我们易确定出A的大小，再由a=2，sinBsinC=cos2

A

2

．结合诱导公式及二倍角公式，易求出三角形其它两个角的大小及两边长．

解答：解：（1）设向量

m

与

n

的夹角为θ，θ∈[0，π]
∴cosθ=

m • n

| m || n |

=

-1

1• 2

=-

2

2

∴θ=

3

4

π
（2）

m

•

n

=-sin2A+cos2A=-1
∴sin2A-cos2A=

2

sin(2A-

π

4

）=1
∴sin（2A-

π

4

)=

2

2

=

2

2

∵A是△ABC的最大内角
∴3A≥A+B+C=π
∴

π

3

≤A＜π
∴

5

12

π≤2A-

π

4

＜

7

4

π
∴2A-

π

4

=

3

4

π
∴A=

π

2

sinBsinC=cos²

A

2

=cos2

π

4

=

1

2

∴2sinBsin（

π

2

-B）=1
∴2sinBcosB=sin2B=1
∵0＜B＜

π

2

∴0＜2B＜π
∴2B=

π

2

∴B=

π

4

∴C=

π

4

∵A=

π

2

且所对的边长a=2
∴b=c=

2

点评：本题考查的知识点是向量的数量积运算，三角函数的值域，二倍角公式，解三角形，其中根据已知条件，减小未知元素的个数，（如本题中，根据已知条件都与A有关，先确定A的大小），是解答此类问题的关键．