Question

设{a_n}为等差数列，{b_n}为公比是q（|q|＜1）的等比数列，且b₁=a₁²，b₂=a₂²，b₃=a₃²，且a₁＜a₂，则数列{b_n}的公比为

 

．

Answer 1

分析：设等差数列{a_n}的公差为d，可知d＞0，由等比中项结合等差数列的通项公式可得关于d的方程，解之可得d，代入q=

b2

b1

=

a22

a12

=(

a2

a1

)2，化简可得．

解答：解：设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁＜a₂可知d＞0，
由等比中项可得b22=b₁b₃，即a24=a12a32，
由等差数列的通项公式可得(a1+d)4=a12(a1+2d)2，
展开可得a14+4a13d+6a12d2+4a1d3+d4=a14+4a13d+4a12d2，
化简可得d2+4a1d+2a12=0，解得d=-2a₁±

2

|a₁|，
当a₁≥0时，可得d=-2a₁±

2

a₁＜0，与d＞0矛盾，故舍去，
当a₁＜0时，可得d=-2a₁±

2

a₁＞0，满足题意，
当d=-2a1+

2

a1时，代入可得公比q=

b2

b1

=

a22

a12

=(

a2

a1

)2=3-2

2

，满足题意，
当d=-2a1-

2

a1时，代入可得公比q=

b2

b1

=

a22

a12

=(

a2

a1

)2=3+2

2

，不满足题意，
综上可得数列{b_n}的公比为：3-2

2

故答案为：3-2

2

点评：本题考查等差数列和等比数列的性质和通项公式，属中档题．