Question

已知函数为常数，e是自然对数的底数.
（Ⅰ）当时，证明恒成立；
（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）确定函数有最小值，所以恒成立.
（Ⅱ）实数的取值范围是．

试题分析：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，
由得，故的单调递减区间是．
所以函数有最小值，所以恒成立.
（Ⅱ）由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．
由得．
①当时，．
此时在上单调递增．
故，符合题意．
②当时，．
当变化时的变化情况如下表：

	单调递减	极小值	单调递增

由此可得，在上，．
依题意，，又．
综合①，②得，实数的取值范围是．
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。涉及不等式恒成立问题，转化成了研究函数的单调性及最值，得到求证不等式。