Question

14．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=$\sqrt{2}$
（Ⅰ）求证：MN∥平面PDC；
（Ⅱ）求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在正三角形ABC中，BM=2$\sqrt{3}$，在△ACD中，由M为AC中点，DM⊥AC，可得AD=CD，又∠CDA=120°，可得DM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，得到$\frac{BM}{MD}=\frac{3}{1}$．在等腰直角三角形PAB中，可得$\frac{BN}{NP}=\frac{3}{1}$，得到$\frac{BN}{NP}=\frac{BM}{MD}$，MN∥PD．再利用线面平行的判定定理即可证明．
（Ⅱ）由∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，可得AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，可得B（4，0，0），$C（2，2\sqrt{3}，0）$，$D（0，\frac{4\sqrt{3}}{3}，0）$，P（0，0，4）．由（Ⅰ）可知，$\overrightarrow{DE}$=$（4，-\frac{4\sqrt{3}}{3}，0）$为平面PAC的法向量，设平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，可得平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$，利用向量的夹角公式即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：在正三角形ABC中，BM=2$\sqrt{3}$，
在△ACD中，∵M为AC中点，DM⊥AC，
∴AD=CD，又∠CDA=120°，
∴DM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{BM}{MD}=\frac{3}{1}$．
在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=4，∴PB=4$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BN}{NP}=\frac{3}{1}$，
∴$\frac{BN}{NP}=\frac{BM}{MD}$，
∴MN∥PD．
又MN?平面PDC，PD?平面PDC，
∴MN∥平面PDC．
（Ⅱ）解：∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，
∴B（4，0，0），$C（2，2\sqrt{3}，0）$，$D（0，\frac{4\sqrt{3}}{3}，0）$，P（0，0，4）．
由（Ⅰ）可知，$\overrightarrow{DE}$=$（4，-\frac{4\sqrt{3}}{3}，0）$为平面PAC的法向量，$\overrightarrow{PC}$=$（2，2\sqrt{3}，-4）$，$\overrightarrow{PB}$=（4，0，-4），
设平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+2\sqrt{3}y-4z=0}\\{4x-4z=0}\end{array}\right.$，
令z=3，解得x=3，y=$\sqrt{3}$，
则平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=$（3，\sqrt{3}，3）$，
设二面角A-PC-B的大小为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DB}|}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴二面角aA-PC-B余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理、平行线分线段成比例的判定定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力．