Question

已知f(x)=,数列{a_n}的前n项和为S_n,点P_n(a_n,)(n∈N^*)在曲线y=f(x)上,且a₁=1,a_n＞0.

（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；

（2）数列{b_n}的首项b₁=1，前n项和为T_n，且+16n²-8n-3，求数列{b_n}的通项公式b_n.

Answer 1

解：（1）由题意知=.∴=4+.∴=4，即{}是等差数列.

∴+4(n-1)=1+4n-4=4n-3.∴a_n²=.又∵a_n＞0,∴a_n=.

（2）由题设知(4n-3)T_n+1=(4n+1)T_n+(4n+1)(4n-3).

∴=1.设=c_n,则上式变为c_n+1-c_n=1.

∴{c_n}是等差数列.

∴c_n=c₁+n-1=+n-1=b₁+n-1=n.∴=n.即T_n=n(4n-3)=4n²-3n.

∴当n=1时，b_n=T₁=1;当n≥2时,b_n=T_n-T_n-1=4n²-3n-4(n-1)²+3(n-1)=8n-7.

经验证n=1时也适合上式.∴b_n=8n-7(n∈N^*).