Question

【题目】在几何体中，面，直角梯形中，，，且，且.

（1）求证：平面平面；

（2）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）过点作交于，连接，根据勾股定理的逆定理可知，，由面可得，根据线面垂直的判定定理可证得平面，再由面面垂直的判定定理即可证出；

（2）易证面，可得为与面所成的角，从而可计算出，再以为原点，分别以，与为轴，建立空间直角坐标系，然后分别求出平面的法向量和平面的法向量，即可由向量法求出二面角的余弦值．

（1）如图所示：

∵面，∴，

在梯形中，过作交于，∴，，，∴，即，即.

∵，，∴平面，

∵平面∴平面平面，

（2）连接，面，∴为与面所成的角，，∵，∴，∵，，∴，

以为原点，分别以，与为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，可知，

设平面的法向量为，

可知，可取，

设平面的法向量为，

可知，可取，

可知两向量的夹角的余弦值为.

由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.