Question

【题目】如图，已知直线关于直线对称的直线为，直线与椭圆分别交于点、和、，记直线的斜率为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当变化时，试问直线是否恒过定点? 若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）可以设直线的方程为，再设直线上任意一点关于直线对称点为，于是分别表示出，由直线对称性可知， 所在直线与垂直，且中点在上，于是整理得出的值；（Ⅱ）本问考查椭圆中直线过定点问题，设，将AM方程与椭圆方程联立，可以求出点M的坐标，同理将直线AN方程与椭圆方程联立，可以求出点N的坐标，根据M，N两点坐标，可以求出直线MN的方程，从而判定直线MN是否过定点.

试题解析：（Ⅰ）设直线上任意一点关于直线对称点为

直线与直线的交点为，∴

，由

得……..①

由得…….②，

由①②得

.

（Ⅱ）设点，由得，

∴，∴.

同理： ，

，∴

即：

∴当变化时，直线过定点.