Question

（本小题满分12分）已知直三棱柱中，△为等腰直角三角形，∠ ＝，且＝，、、分别为、、的中点．

（1）求证：∥平面；
（2）求证：⊥平面；
（3）求三棱锥的体积．

Answer 1

（1）设是的中点，连结，则平行且等于，所以四边形是平行四边形，所以//，从而∥平面．
（2）∵为等腰直角三角形，为的中点，∴⊥，又∵⊥平面，可证⊥∵＝,∴，∴，∵ 
（3）1

试题分析：（1）方法1：设是的中点，连结，则平行且等于，…（2分）
所以四边形是平行四边形，所以//，
从而∥平面．                                      …………（4分）
方法2：连接、，并延长交的延长线于点，连接．
由为的中点，‖,可证              ……（2分）
∵、是、的中点，∴‖，又∵平面，
平面，∴ ∥平面               ………（4分）
（2）∵为等腰直角三角形，为的中点，∴⊥，
又∵⊥平面，可证⊥                ……（6分）
∵＝,∴，
∴，
∵                  ……（8分）
（3），，…………（10分）
…………（12分）
点评：高考中常考查空间中平行关系与垂直关系的证明以及几何体体积的计算，这是高考的重点内容.证明的关键是熟练掌握并灵活运用相关的判定定理与性质定理.