Question

已知分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足.设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中.

（1）求此椭圆的方程；

（2）求直线AB的斜率的取值范围.

 

Answer 1

（1）（2）.

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.

试题解析：（1）由于

解得 从而所求椭圆的方程是

（2）三点共线，而点的坐标为，

设直线AB的方程为

由消去得，即

根据条件可知 解得

设，则根据韦达定理得

又由

从而 消去

令

由于所以.上是减函数.

从而

，解得，而，

因此直线AB的斜率的取值范围是

考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆的综合问题.