Question

已知点H(－3，0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足·＝0，＝． (1) 当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C (2) 过点T(－1，0)作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E(x。，0)，使得△ABE为等边三角形，求x0的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：设点M的坐标为(x，y)，由=－，得P(0，－)，Q(，0)． 　　由·=0得(3，－)·(x，y)=0，得y2=4x．由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0． 　　所以，动点M的轨迹C是以(0，0)为顶点，(1，0)为焦点的抛物线(除去原点)．
(2)	设直线l：y=k(x＋1)，其中k≠0，代入y2=4x得k2x2＋2(k2－2)x十k2=0．　① 　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是方程①的两个实根． 　　所以x1＋x2=－，x1·x2=1． 　　则线段AB的中点坐标为(，)，线段AB的垂直平分线方程为y－=－(x－)． 　　令y=0，解得x0=＋1，所以点E的坐标为(＋1，0)． 　　因为△ABE为正三角形，所以点E(＋1，0)到直线AB的距离等于｜AB｜， 　　而｜AB｜= 　　　　　　=·， 　　所以=． 　　解得k=±，所以x0=．