Question

已知点H（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

．
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过点（1，0）作直线L交轨迹C于A、B两点，已知

AF

=2

FB

，求直线L的方程．

Answer 1

分析：（1）设出M的坐标，利用题意向量的关系，求得x和y的关系，进而求得M的轨迹C．
（2）设出A，B的坐标，利用知

AF

=2

FB

，求出A，B的坐标，即可求直线L的方程

解答：解：（1）设点M的坐标为（x，y），
由

PM

=-

3

2

MQ

得P（0，-

y

2

），Q（

x

3

，0），
由

HP

•

PM

=0得（3，-

y

2

）•（x，

3y

2

）=0，
所以y²=4x由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0，
所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∵

AF

=2

FB

，∴（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂），
∴x₁+2x₂=3，y₁=-2y₂，
∵y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
∴x₁=2，y₁=±2

2

∴直线L的方程为y=±2

2

（x-1）．

点评：本题以向量得数量积得坐标表示为载体考查了轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．