Question

设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．
（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；
（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P（x，y），则，利用直线AP与BP的斜率之积为，即可求得椭圆的离心率；
（2）依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x，kx），则，进一步可得，利用AP|=|OA|，A（-a，0），可求得，从而可求直线OP的斜率的范围．
解答：（1）解：设P（x，y），∴①
∵椭圆的左右顶点分别为A，B，∴A（-a，0），B（a，0）
∴，
∵直线AP与BP的斜率之积为，∴
代入①并整理得
∵y≠0，∴a²=2b²
∴
∴
∴椭圆的离心率为；
（2）证明：依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x，kx），∴
∵a＞b＞0，kx≠0，∴
∴②
∵|AP|=|OA|，A（-a，0），
∴
∴
∴
代入②得
∴k²＞3
∴直线OP的斜率k满足|k|＞．
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查直线的斜率，考查学生的计算能力，属于中档题．