题目内容
已知椭圆
：
的离心率等于
，点
在椭圆上.
(I)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设椭圆的左右顶点分别为
,
,过点
的动直线
与椭圆相交于
,
两点，是否存在定直线
：
，使得与
的交点
总在直线
上？若存在，求出一个满足条件的
值；若不存在，说明理由。
【答案】
(I)
(Ⅱ) 存在定直线
:
,使得与
的交点
总在直线
上,
的值是
.
【解析】
试题分析：（1）由
，
又点
在椭圆上，
，所以椭圆方程：；
（2）当
垂直
轴时，
，则的方程是：
，
的方程是：
，交点的坐标是：
，猜测:存在常数
,
即直线的方程是:使得与的交点总在直线上,
证明：设的方程是
，点
，
将的方程代入椭圆
的方程得到：
，
即：
，
从而：
，
因为：
，
共线，所以：
，
，
又
，
要证明
共线，即要证明
，
即证明：
，即：
，
即：
因为：
成立，
所以点在直线上.综上:存在定直线:,使得与的交点总在直线上,的值是.
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的方程是否存在，综合性强，难度大，有一定的探索性，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用
练习册系列答案
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：
，以抛物线
的焦点为椭圆的一个焦点，且短轴一个端点与两个焦点可组成一个等边三角形，则椭圆C的离心率为 
A．
B． 
C． 
D． 
，F为右焦点，过焦点F的直线交椭圆C于P、Q两点（不同于点A）．
时，求直线PQ的方程．