Question

13．直线l：A（x-2）+B（y+3）+C=0交圆M：（x-2）²+（y+3）²=$\frac{4}{3}$于P，Q两点，且A²+B²=3C²，则$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=（　　）

• A． -$\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{2}{3}$
• C． -1
• D． -$\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 先求出M到直线PQ的距离，可得PQ，利用余弦定理求出cos∠PMQ，再利用向量的数量积公式求出$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$．

解答 解：直线l：A（x-2）+B（y+3）+C=0可化为Ax+By-2A+3B+C=0，
∴M到直线PQ的距离d=$\frac{|C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵圆的半径为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴PQ=2$\sqrt{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}$=2，
∴cos∠PMQ=$\frac{\frac{4}{3}+\frac{4}{3}-4}{2•\frac{4}{3}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=$\frac{4}{3}•（-\frac{1}{2}）$=-$\frac{2}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查余弦定理、向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．