Question

【题目】如图，已知等边中，分别为边的中点，为的中点，为边上一点，且，将沿折到的位置，使平面平面.

（I）求证：平面平面；

（II）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（II）．

【解析】

试题分析：（I）易得，.又由平面平面平面.由以和平面平面平面；（II）先证和,再建立空间直角坐标系，然后求平面的法向量和平面的向量.

试题解析：（I）因为为等边的边的中点，所以是等边三角形，且．

因为是的中点，所以.

又由于平面平面,平面，所以平面

又平面，所以.

因为，所以，所以.

在正中知，所以.

而，所以平面.

又因为平面，所以平面平面.

（II）设等边的边长为4，取中点，连接，由题设知，由（I）知平面，又平面，所以,如图建立空间直角坐标系，则,,,,.

设平面的一个法向量为，则由

得令，则.

平面的一个法向量为，所以，

显然二面角是锐角

所以二面角的余弦值为.