Question

（（本小题满分12分）设函数的图象关于原点对称，且=1时，f(x)取极小值。
(1)求的值；
(2)若时，求证：。

Answer 1

解答(1) ∵函数f(x)图象关于原点对称，∴对任意实数x，都有f(-x)="-" f(x).
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，即bx²-2d=0恒成立.
∴b=0,d=0,即f(x)=ax³+cx.   ∴f′(x)=3ax²+c.
∵x=1时,f(x)取极小值-.   ∴f′(1)=0且f(1)="-" ,
即3a+c=0且a+c=-. 解得a=,c=-1………………………………….6分
(2)证明：∵f′(x)=x²-1,由f′(x)=0,得x=±1.
当x∈(-∞，-1)或（1，+∞）时，f′(x)＞0; 当 x∈(-1，1)时，f′(x)＜0.
∴f(x)在[-1,1]上是减函数，且f_max(x)=f(-1)= , f_min(x)=f(1)= -.
∴在[-1,1]上，|f(x)|≤.
于是x₁,x₂∈[-1,1]时，|f(x₁)-f(x₂)|≤=+=.
故x₁,x₂∈[-1,1]时,|f(x₁)-f(x₂)|≤………………………………………….12分

略