Question

如图所示，在直角梯形P1DCB中，P1D∥CB，CD⊥P1D，且P1D＝6，BC＝3，DC＝，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P－CD－B成角．设E、F分别是线段AB、PD的中点． (1) 求证：AF∥平面PEC (2) 求PC与底面所成角的正弦值

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：方法一　设PC中点为G，连结FG． 　　∵FG∥CD∥AE，且GF=CD=AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG，EG平面PEC，∴AF∥平面PEC． 　　方法二：设线段PC的中点为G，连结EG． 　　∵＝＋＝＋ 　　　　 ＝＋(＋) 　　　　 ＝＋＋ 　　　　 ＝＋＋＝＋＝． 　　∴AF∥EG，又EG平面PEC，AF平面PEC，∴AF∥平面PEC

(2)

如图所示，连结AC．∵BA⊥AD，BA⊥AP，∴BA⊥平面PAD．① 　　又∵CD∥BA，∴CD⊥PD，而CD⊥AD，∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角，∴∠PDA=． 　　又PA=AD=3，∴△PAD是等腰直角三角形，∴PA⊥AD．　② 　　由①、②得PA⊥平面ABCD，∴AC是PC在底面上的射影． 　　∵PA=3，AC===，∴PC==， 　　则sin∠PCA=≤，∴PC与底面所成角的正弦值为． 　　方法二：∵BA⊥P1D，∴BA⊥平面PAD，①又CD∥BA，∴CD⊥PD，CD⊥AD，∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角， 　　∴∠PDA＝，又PA＝AD＝3， 　　∴△PAD是等腰直角三角形，∴PA⊥AD．②由①、②得PA⊥平面ABCD， 　　设PA与PC所成的角为(0＜≤＝，则PC与平面ABCD所成的角为－． 　　∵＝－＝＋－，又∵、、两两互相垂直，且｜｜＝｜｜＝3，｜｜＝．∴sin(－)＝＝＝＝，故知PC与底面所成角的正弦值为． 　　点评：折叠问题的关键是弄清折叠前后的变与不变：半平面与半平面之间的位置关系与数量关系一般改变，同一半平面内的关系一般不变．