题目内容
对任意函数f（x），x∈D，可按图构造一个数列发生器．记由数列发生器产生数列{xn}．（Ⅰ）若定义函数
，且输入
，请写出数列{xn}的所有项；（Ⅱ）若定义函数f（x）=2x+3，且输入x=-1，求数列{xn}的通项公式xn．
（Ⅲ）若定义函数f（x）=xsinx（0≤x≤2π），且要产生一个无穷的常数列{xn}，试求输入的初始数据x的值及相应数列{xn}的通项公式xn．
【答案】分析：（Ⅰ）函数
的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），由此能推导出数列{xn}只有三项
．
（Ⅱ）f（x）=2x+3的定义域为R，若x=-1，则x1=1，则xn+1+3=2（xn+3），从而得到数列{xn+3}是首项为4，公比为2的等比数列，由此能求出数列{xn}的通项公式．
（Ⅲ） 若要产生一个无穷的常数列，则f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，由此能求出输入的初始数据x的值及相应数列{xn}的通项公式xn．
解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）函数
的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞）…（1分）
把
代入可得
，
把
代入可得
，
把
代入可得x3=-1
因为x3=-1∉D，
所以数列{xn}只有三项：
…（4分）
（Ⅱ）f（x）=2x+3的定义域为R，
若x=-1，则x1=1，
则xn+1=f（xn）=2xn+3，所以xn+1+3=2（xn+3），
所以数列{xn+3}是首项为4，公比为2的等比数列，
所以
，
所以
，
即数列{xn}的通项公式
．…（9分）
（Ⅲ） 若要产生一个无穷的常数列，
则f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，
即x（sinx-1）=0在[0，2π]上有解，
则x=0或sinx=1，所以x=0或
即当
故当x=0时，xn=0；当
．…（14分）
点评：本题考查数列的所有项的求法，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），由此能推导出数列{xn}只有三项．（Ⅱ）f（x）=2x+3的定义域为R，若x=-1，则x1=1，则xn+1+3=2（xn+3），从而得到数列{xn+3}是首项为4，公比为2的等比数列，由此能求出数列{xn}的通项公式．
（Ⅲ） 若要产生一个无穷的常数列，则f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，由此能求出输入的初始数据x的值及相应数列{xn}的通项公式xn．
解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）函数
的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞）…（1分）把
代入可得，把
代入可得，把
代入可得x3=-1因为x3=-1∉D，
所以数列{xn}只有三项：
…（4分）（Ⅱ）f（x）=2x+3的定义域为R，
若x=-1，则x1=1，
则xn+1=f（xn）=2xn+3，所以xn+1+3=2（xn+3），
所以数列{xn+3}是首项为4，公比为2的等比数列，
所以
，所以
，即数列{xn}的通项公式
．…（9分）（Ⅲ） 若要产生一个无穷的常数列，
则f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，
即x（sinx-1）=0在[0，2π]上有解，
则x=0或sinx=1，所以x=0或
即当
故当x=0时，xn=0；当
．…（14分）点评：本题考查数列的所有项的求法，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
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