Question

是否存在常数k和等差数列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1恒成立，其中S_n为{a_n}的前n项和？若存在，试求出常数k和数列{a_n}的通项；若不存在，试说明理由。

Answer 1

解：设存在常数k和等差数列{a_n}满足条件，
令a_n=pn+q（p，q为常数），
则，
，
∴S_2n-S_n+1

，
由题设，
得，
上式对n∈N₊恒成立，因而有

 由①知，p=0或，
若p=0，由②得q=0，不合题意，
∴p≠0，将代入②，得，
代入③，得，
∴存在常数及等差数列{a_n}满足条件，{a_n}的通项公式为。