Question

是否存在常数k和等差数列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1恒成立，其中S_n为{a_n}的前n项和，若存在，试求出常数k和数列{a_n}的通项；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：设a_n=pn+q（p，q为常数），则Ka_n²-1=kp²n²+2kpqn+kq²-1，
Sn=

1

2

pn(n+1)+qnS2n-Sn+1=

3

2

pn2+(q-

p

2

)n-(p+q)，
则kp2n2+2kpqn+kp2-1=

3

2

pn2+(q-

p

2

n)-(p+q)，故有

kp2= 3 2 p…① 2kpq=q- p 2 …② kq2-1=-(p+q)…③

，由此能够求出常数k=

81

64

及等差数列an=

32

27

n-

8

27

满足题意．

解答：解：假设存在常数k和等差数列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1恒成立．
设a_n=pn+q（p，q为常数），则Ka_n²-1=kp²n²+2kpqn+kq²-1，
Sn=

1

2

pn(n+1)+qnS2n-Sn+1=

3

2

pn2+(q-

p

2

)n-(p+q)，
则kp2n2+2kpqn+kp2-1=

3

2

pn2+(q-

p

2

n)-(p+q)，
故有

kp2= 3 2 p…① 2kpq=q- p 2 …② kq2-1=-(p+q)…③

，

由①得p=0或kp=

3

2

．当p=0时，由②得q=0，而p=q=0不适合③，故p≠0把kp=

3

2

代入②，得q=-

p

4

把q=-

p

4

代入③，又kp=

3

2

得p=

32

27

，从而q=-

8

27

，k=

81

64

．故存在常数k=

81

64

及等差数列an=

32

27

n-

8

27

满足题意．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时先假设存在常数k和等差数列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1恒成立．然后再根据题设条件进行求解．