Question

(本题满分14分) 设｛a_n｝是由正数组成的等差数列，S_n是其前n项和

（1）若，求的值；

（2）若互不相等正整数p，q，m，使得p＋q＝2m，证明：不等式成立；

（3）是否存在常数k和等差数列｛a_n｝，使恒成立（n∈N^*），若存在，试求出常数k和数列｛a_n｝的通项公式；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：在等差数列｛a_n｝中，S_n，S_2n－S_n，S_3n－S_2n，…成等差数列，

∴S_n＋（S_3n－S_2n）＝2（S_2n－S_n）

∴S_3n＝3 S_2n－3 S_n＝60…………………………………………………………………4分

（2）S_pS_q＝pq（a₁＋a_p）（a₁＋a_q）

＝pq［a＋a₁(a_p＋a_q)＋a_pa_q］

＝pq（a＋2a₁a_m＋a_pa_q）＜（）²［a＋2a₁a_m＋（）²］

＝m²（a＋2a₁a_m＋a）＝［m（a₁+a_m）］²

＝S………………………………………………………………………8分

（3）设a_n＝pn＋q（p，q为常数），则ka－1＝kp²n²＋2kpqn＋kq²－1

S_n+1＝p(n＋1)²＋（n＋1）

S_2n＝2pn²＋（p＋2q）n

∴S_2n－S_n+1＝pn²＋n－（p＋q），

依题意有kp²n²＋2kpqn＋kq²－1＝ pn²＋n－（p＋q）对一切正整数n成立，

∴

由①得，p＝0或kp＝；

若p＝0代入②有q＝0，而p＝q＝0不满足③，

∴p≠0

由kp＝代入②，

∴3q＝，q＝－代入③得，

－1＝－（p－），将kp＝代入得，∴P＝，

解得q＝－，k＝

故存在常数k＝及等差数列a_n＝n－使其满足题意…………………13分

【解析】略