Question

已知圆O：x²+y²=1，点O为坐标原点，一条直线l：y=kx+b（b＞0）与圆O相切并与椭圆交于不同的两点A、B．
（1）设b=f（k），求f（k）的表达式；
（2）若，求直线l的方程；
（3）若，求三角形OAB面积的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵y=kx+b（b＞0）与圆x²+y²=1相切，
∴，即b²=k²+1（k≠0），
∴…（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由，消去y得：（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0
又△=8k²＞0（∵k≠0），所以．…（6分）
则=．
由，所以k²=1．
∴b²=2．∵b＞0，∴，
∴．…（9分）
（3）由（2）知：．
∵，∴，∴，
由弦长公式得，所以，
设2k²+1=t，∴2≤t≤3，S=
∴．…（14分）
分析：（1）根据y=kx+b（b＞0）与圆x²+y²=1相切，可得，即可求f（k）的表达式；
（2）直线与椭圆方程联立，，利用韦达定理及，即可求得直线l的方程；
（3）确定，利用弦长公式，求|AB|，从而可求△OAB面积的取值范围．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形的面积的计算，解题的关键是利用直线与圆的位置关系，属于中档题．